Question

下列命题中，
①命题“?x∈（0，2），x²+2x+2＜0”的否定是“?x∈（0，2），x²+2x+2＞0”；
②

x＞1 y＞2

是

x+y＞3 xy＞2

的充要条件；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
④“9＜k＜15”是“方程

x2

15-k

+

y2

k-9

=1表示椭圆”的充要条件．
⑤设P是以F₁、F₂为焦点的双曲线一点，且

PF 1

•

PF 2

=0，若△PF₁F₂的面积为9，则双曲线的虚轴长为6；
其中真命题的是

 

（将正确命题的序号填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①小于0的否定是大于等于0，结论否定错误；
②由定义和举反例取x=

1

2

，y=10，即可否定；
③互为逆否命题的两命题等价，逆命题和否命题互为逆否命题，即可判断；
④利用椭圆定义求解，分充分性和必要性判断；
⑤利用双曲线的焦三角形性质求解，然后判断．

解答： 解：①根据命题“?x∈（0，2），x²+2x+2＜0”是特称命题，其否定为全称命题，即?x∈（0，2），x²+2x+2≥0．故①错误；
②

x＞1 y＞2

可推出

x+y＞3 xy＞2

，反之，不成立，比如取x=

1

2

，y=10，满足

x+y＞3 xy＞2

，但推不出x＞1且y＞2，故应为充分不必要条件，故②错误；
③互为逆否命题的两命题等价，逆命题和否命题互为逆否命题，故③正确；
④当9＜K＜12和12＜K＜15时，15-K＞0，K-9＞0，且15-K≠K-12，此时方程

x2

15-k

+

y2

k-9

=1表示椭圆，但是当K=12时，有15-K=K-9，那么

x2

15-k

+

y2

k-9

=1就表示一个圆，
∴当9＜K＜15时，不能推导出方程

x2

15-k

+

y2

k-9

=1表示椭圆，但是当方程

x2

15-k

+

y2

k-9

=1表示椭圆时，可以推导出9＜K＜15，故9＜K＜12是 方程表示椭圆必要不充分条件，故④错误；
⑤由题意可得||PF₁|-|PF₂||=2a（a＞0），两边平方展开得|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=4a² 记为*式，
又

PF 1

•

PF 2

=0，得PF₁⊥PF₂，则有|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
且由△PF₁F₂的面积为S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=9，得|PF₁|•|PF₂|=18，
都代入*式，得4c²-36=4a²，即4c²-4a²=36，即b²=c²-a²=9，b=3，虚轴长为2b=6，故⑤正确，
其中真命题的是③⑤，
故答案为：③⑤．

点评：本题考查四种命题及真假的判断，考查充分必要条件的判断，注意运用定义，非常容易出错，属较难的题目．