Question

1．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{2{x^2}}}$．
（1）当a=2时，
①讨论函数f（x）的单调性；
②求证：2lnx-x-$\frac{x^2}{2}$≤-$\frac{3}{2}$；
（2）证明：（x-1）（e^-x-x）+2lnx＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的电视，①解关于导函数的不等式求出函数的单调性即可；②求出f（x）的最小值，整理即可；
（2）令$g（x）=（x-1）{e^{-x}}-\frac{x^2}{2}+2x，x＞0$，求出函数的导数，得到g（x）≤g（2），从而证出结论．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
又$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}=\frac{{a{x^2}-x-1}}{x^3}$，
当a=2时，$f'（x）=\frac{（2x+1）（x-1）}{x^3}$，
①令f'（x）＞0，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增，
②由①得：$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{3}{2}$，
$2lnx+\frac{1}{x}+\frac{1}{{2{x^2}}}≥\frac{3}{2}$，
即$2ln\frac{1}{x}+x+\frac{x^2}{2}≥\frac{3}{2}$，
∴$2lnx-x-\frac{x^2}{2}≤-\frac{3}{2}$．
（2）令$g（x）=（x-1）{e^{-x}}-\frac{x^2}{2}+2x，x＞0$，
而g'（x）=（2-x）（e^-x+1），
易知x=2时，g（x）取得最大值，
即$g（x）≤g（2）=\frac{1}{e^2}+2$．
∴（x-1）e^-x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+2x+2lnx-x-$\frac{{x}^{2}}{2}$
=2lnx+（x-1）（e^-x-x）
＜$\frac{1}{{e}^{2}}$+2-$\frac{3}{2}$＜$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的意义以及转化思想，是一道中档题．