Question

过椭圆左焦点F，倾斜角为

π

3

的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为

2

3

．

Answer 1

分析：先确定|AF|、|BF|，再利用椭圆的第二定义，结合AB倾斜角为60°，可得结论．

解答：解：设准线与x轴交点为M，过A、B作准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作BH⊥AD，垂足为H，交x轴于E．
设|AB|=3t，因为|FA|=2|FB|，则|BF|=t，|AF|=2t，
因为AB倾斜角为60°，所以∠ABH=30°，则|AH|=

1

2

|AB|=

3

2

t，
根据椭圆第二定义，可得|AH|=|AD|-|BC|=

2t

e

-

t

e

=

t

e

，
∴

3

2

t=

t

e

∴e=

2

3

，
故答案为：

2

3

．

点评：本题与直线的倾斜角的性质相结合，考查椭圆的基本性质，考查椭圆的第二定义，考查学生的计算能力．