Question

9．如图，EF是圆O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交圆O于点C、D．设圆O的半径是r，OM=m．
（Ⅰ）证明：AM²+BM²=2（r²+m²）；
（Ⅱ）若r=3m，求$\frac{AM}{CM}+\frac{BM}{DM}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作AA′⊥EF交EF于点A′，作BB′⊥EF交EF于点B′．求出A′M和 B′M，可得A′M²+B′M²，从而求得AM²+BM² 的值．
（Ⅱ）因为EM=r-m，FM=r+m，计算AM•CM=r²-m²，代入要求的式子．

解答 解：（Ⅰ）作AA′⊥EF交EF于点A′，作BB′⊥EF交EF于点B′．
因为A′M=0A′-OM，B′M=OB′+OM=OA′+OM，
所以A′M²+B′M²=2OA′²+2OM²．
从而AM²+BM²=AA′²+A′M²+BB′²+B′M²=2（AA′²+OA′²+OM²），
∴AM²+BM²=2（r²+m²）．
（Ⅱ）因为EM=r-m，FM=r+m，
所以AM•CM=BM•DM=EM•FM=r²-m²．
因为$\frac{AM}{CM}$+$\frac{BM}{DM}$=$\frac{{AM}^{2}}{AM•CM}$+$\frac{{BM}^{2}}{BM•DM}$=$\frac{{AM}^{2}{+BM}^{2}}{EM•FM}$，
∴$\frac{AM}{CM}$+$\frac{BM}{DM}$=$\frac{2{（r}^{2}{+m}^{2}）}{{r}^{2}{-m}^{2}}$．
又因为r=3m，∴$\frac{AM}{CM}$+$\frac{BM}{DM}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段，相交弦定理，属于中档题．