Question

17．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且B=2A，则$\frac{c}{b-a}$的取值范围是（　　）

• A． （0，3）
• B． （1，2）
• C． （2，3）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 先由正弦定理把所求化为$\frac{sinC}{sinB-sinA}$，利用三角函数恒等变换的应用化简可得2cosA+1，进而B=2A和三角形的内角和求得A的范围，进而根据余弦函数的单调性求得其取值范围．

解答 解：由正弦定理可知$\frac{c}{b-a}$=$\frac{sinC}{sinB-sinA}$=$\frac{sin（B+A）}{sinB-sinA}$=$\frac{sin3A}{sin2A-sinA}$=$\frac{2sin\frac{3A}{2}cos\frac{3A}{2}}{2cos\frac{3A}{2}sin\frac{A}{2}}$=$\frac{sin\frac{3A}{2}}{sin\frac{A}{2}}$=$\frac{sin\frac{A}{2}cosA+2co{s}^{2}\frac{A}{2}sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}$=2cosA+1，
∵A+B+C=180°，B=2A，
∴3A+C=180°，A=60°-$\frac{C}{3}$＜60°
∴0＜A＜60°
∴$\frac{1}{2}$＜cosA＜1，
则2＜2cosA+1＜3．
故$\frac{c}{b-a}$的取值范围是：（1，2）．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用．解题的思路就是通过把边的问题转化成角的问题，然后利用三角函数的基本性质来解决问题，考查了转化思想，属于中档题．