题目内容
设f(x)的定义域（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f(mn)=f(m)+f(n)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(
)=-1。
（1）求f(2)的值；
（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式
，其中p＞-1。
)=-1。（1）求f(2)的值；
（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式
，其中p＞-1。 解：（1）令m=n=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0，
，
∴f（2）=1；
（2）设
，则
，由已知，得
，
，
∴
，
而
，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数。
（3）由f（2）=1，得2=f（2）+f（2）=4，
又
，
∴不等式化为
，
由（2）知f（x）在（0，+∞）上单增，
∴原不等式即为
，
①当p＞0时，得x＞4，
；
②当p=0时，不等式
不成立，解集为
；
③当
时，即-1＜p＜0时，原不等式化为
，
解得：
。
，∴f（2）=1；
（2）设
，则，由已知，得，，∴
，而
，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数。
（3）由f（2）=1，得2=f（2）+f（2）=4，
又
，∴不等式化为
，由（2）知f（x）在（0，+∞）上单增，
∴原不等式即为
，①当p＞0时，得x＞4，
；②当p=0时，不等式
不成立，解集为；③当
时，即-1＜p＜0时，原不等式化为，解得：
。
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(sinx+cosx)； ④f(x)=
;
,
在(0,+∞)上是增函数；
(sinx+cosx)； ④f(x)=
；