Question

试求过点P（3，5）且与曲线y=x²相切的直线方程．

Answer 1

分析：欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点（x₀，x₀²）处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后结合切线过点P（3，5）即可求出切点坐标，从而问题解决．

解答：解：y′=2x，过其上一点（x₀，x₀²）的切线方程为
y-x₀²=2x₀（x-x₀），
∵所求切线过P（3，5），
∴5-x₀²=2x₀（3-x₀），解之得x₀=1或x₀=5．
从而切点A的坐标为（1，1）或（5，25）．
当切点为（1，1）时，切线斜率k₁=2x₀=2；
当切点为（5，25）时，切线斜率k₂=2x₀=10．
∴所求的切线有两条，方程分别为y-1=2（x-1）和y-25=10（x-5），
即y=2x-1和y=10x-25．

点评：本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，考查运算求解能力．属于基础题．