Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，其中|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则|$\overrightarrow{2a}$-$\overrightarrow{b}$|=2．

Answer 1

分析 可由$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$得出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$，这样进行向量数量积的运算即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，进而可求出$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$的值，从而可得出$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的值．

解答 解：根据条件，∵$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$2-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$；
∴$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=8-8+4=4；
∴$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$．
故答案为：2．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及其计算公式，以及要求向量长度而求向量平方的方法．