Question

9．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程和直线l普通方程；
（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，0），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，求圆C的直角坐标方程和直线l普通方程；
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．

解答 解：（1）由ρ=4sinθ，得ρ²=4ρsinθ，
从而可得x²+y²=4y，即x²+y²-4y=0，
即圆C的直角坐标方程为x²+（y-2）²=4，
直线l的普通方程为x+y-3=0．
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得${（3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}+{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-2）^2}=4$，即${t^2}-5\sqrt{2}t+9=0$．
由于$△={（5\sqrt{2}）^2}-4×9=14＞0$，
故可设t₁，t₂是上述方程的两实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=5\sqrt{2}\\{t_1}{t_2}=9.\end{array}\right.$
又直线l过点P（3，0），
故由上式及t的几何意义得$|PA|+|PB|=|{t_1}|+|{t_2}|=5\sqrt{2}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，正确运用参数的几何意义是关键．