题目内容
在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：
所围成的封闭图形的面积为
，曲线C1上的点到原点O的最短距离为
．以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记
为C2．
（1）求椭圆C2的标准方程；
（2）设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点（与O不重合）．
①若MO＝2OA，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；
②若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．
（1）
;（2）①
;②
．
【解析】
试题分析：（1）对于曲线C1：
的处理，关键问题是两个绝对值的处理，根据x,y的特点，不难发现与坐标系中的四个象限有关，进而即可得到
，即可得出椭圆方程; （2）①由l是线段AB的垂直平分线，可转化为：
，又由MO＝2OA，可转化得到：
，这样的好处是两条件均转化为向量了，设出点M和点A的坐标即可得到关系：
解出
再利用点M在所求椭圆上即可求出：
;②中要求△AMB的面积的最小值，根据此地三角形的特点，不难想到直线AB的设出，根据斜率是否存在，可先考虑两种特殊情况：一种不存在;另一种为0，再考虑一般情形，运用方程组思想即可得：
和
，进而表示出面积：
，最后结合不等式知识即可求出最小值．
试题解析：（1）由题意得 又
，解得
，
．
因此所求椭圆的标准方程为． 4分
（2）①设
，
，则由题设知：，．
即 解得 8分
因为点在椭圆C2上，所以，
即
，亦即．
所以点M的轨迹方程为． 10分
②假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)．
解方程组
得
，
，
所以
，.
又
解得
，
，所以． 12分
由于
，
当且仅当
时等号成立，即k＝±1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝
． 15分
当k＝0，S△AMB
；
当k不存在时，S△AMB
．
综上所述，△AMB面积的最小值为． 16分
考点：1.椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系;3.基本不等式
.
（单位：s）内的人数大约是 .
（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ的中点M与定点A(1，0)间的距离为d，求d的取值范围．
恒成立，则实数x的值为 ．
，则a的取值范围是 ．
＝
，求
的值；