Question

11．中国南海某岛驻岛部队的地面雷达搜索半径为200海里，外国一海洋测量船正在该海岛正东250海里处以每小时20海里的速度沿西北方向航行，问该海岛雷达能否发现该外国测量船，如能，求能观测到该测量船的时间长．

Answer 1

分析 以该岛为原点，正东、正北方向分别为x，y轴，建立直角坐标系，雷达最大观测范围是一个圆，其方程为x²+y²=400．外国一海洋测量船的航行路线所在的直线方程为x+y=250，求出海岛到外国一海洋测量船的航行路线所在的直线的距离，航行路线被圆截得的弦，即可得出结论．

解答 解：以该岛为原点，正东、正北方向分别为x，y轴，建立直角坐标系，则雷达最大观测范围是一个圆，其方程为x²+y²=400．
外国一海洋测量船的航行路线所在的直线方程为x+y=250，
海岛到外国一海洋测量船的航行路线所在的直线的距离为d=$\frac{|250|}{\sqrt{2}}$=125$\sqrt{2}$≈176.65＜200，故能被观测到，
航行路线被圆截得的弦|BC|=2$\sqrt{20{0}^{2}-（125\sqrt{2}）^{2}}$≈187.1，
所以能观测到的时间为t=$\frac{187.1}{20}$=9.365小时．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．