Question

16．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则三棱锥的外接球的体积等于$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．

Answer 1

分析 利用三棱锥的体积公式，求出PA，由余弦定理求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P-ABC的外接球的体积．

解答 解：∵三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×PA$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴PA=2．
∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴由余弦定理可得BC=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
设△ABC外接圆的半径为r，则2r=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴r=1，
设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R²=d²+1²=1²+（2-d）²，
∴d=1，R²=2，
∴三棱锥P-ABC的外接球的体积为$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．
故答案为：$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．

点评 本题考查三棱锥P-ABC的外接球的体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P-ABC的外接球的半径是关键．