Question

如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由已知中F为CD的中点，易判断四边形ABCD为平行四边形，进而AF∥BC，同时EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中点O，连接SO，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面SAC与平面ACF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．

（1）分别是的中点，．又，所以．，……2分

四边形是平行四边形．．是的中点，．……3分

又，，平面平面……5分

（2）取的中点，连接，则在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分

于是可建立如图所示的空间直角坐标系．

则有，，，，

，．…7分

设平面的法向量为，由．

取，得．……9分平面的法向量为．10分

…11分而二面角的大小为钝角，

二面角的余弦值为 ．

考点：1．用空间向量求平面间的夹角；2．平面与平面平行的判定．