Question

已知四棱锥P-ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形，且∠DAB=

π

3

．
（Ⅰ）求证：PB⊥AD；
（Ⅱ）若AB=2，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取AD中点O，连结PO，BO，由已知可得PO⊥AD，BO⊥AD，又PO∩BO=O，即可证AD⊥平面POB，从而可得PB⊥AD．
（2）先证明PO⊥AD，可得PO⊥平面ABCD，有AB=AD=2可得PO，S_ABCD的值，从而由V_P-ABCD=

1

3

PO•S_ABCD即可得解．

解答： 证明：（1）取AD中点O，连结PO，BO．
侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形且∠DAB=

π

3

∴PO⊥AD，BO⊥AD…（2分）
又PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB…（4分）
∴PB⊥AD…（5分）
（2）侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PO?平面ABCD，∴PO⊥AD
∴PO⊥平面ABCD…（7分）
∵AB=AD=2
∴PO=

3

，S_ABCD=2

3

…（9分）
∴V_P-ABCD=

1

3

PO•S_ABCD=

1

3

×

3

×2

3

=2
所以四棱锥P-ABCD的体积为2．…（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和转换思想，属于中档题．