Question

如图所示，A、F分别是椭圆＝1的一个顶点与一个焦点，位于x轴的正半轴上的动点T（t，0）与F的连线交射影OA于Q．求：

（1）点A、F的坐标及直线TQ的方程；

（2）△OTQ的面积S与t的函数关系式S=f（t）及其函数的最小值；

（3）写出S=f（t）的单调递增区间，并证明之．

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）A点的坐标为（1，3），F点的坐标为（1，1） 当t＞0且t≠1时，TQ的方程为y=； 当t=1时，TQ的方程为x=1. （2）联立直线OA和直线TQ的方程； 或 得Q点的纵坐标为yQ＝，yQ＝3， ∵t＞0，且yQ＞1，∴t＞， ∴f（t）＝ ∴f（t）=， ∵t＞，∴3t－2＞0，∴f（t）≥（2＋4）＝， 当且仅当t＝时等号成立，即t=时，S=f（t）的最小值为． （3）f（t）=在区间（，＋∞）上为增函数． 证明：任取t1、t2∈（，＋∞），不妨设t2＞t1＞． f（t1）－f（t2）＝（3t1－2+＋4）－（3t2－2＋＋4） ＝（t1－t2）［1－］ ＝（t1－t2） ∵t2＞t1＞，∴t1－t2＜0，（3t1－2）（3t2－2）＞4，∴f（t1）＜f（t2）． ∴S＝f（t）在（，＋∞）上为增函数．