Question

7．已知双曲线C与双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1有共同的渐近线，并且经过点A（3，-6$\sqrt{2}$），F₁，F₂是双曲线C的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且∠F₁PF₂=90°，则|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|等于（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由双曲线的方程和渐近线方程的关系，可设双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=m（m≠0），代入点A（3，-6$\sqrt{2}$），可得m，即可得到所求双曲线的方程，求得焦点坐标，运用向量垂直的条件：数量积为0，向量的模的公式计算即可得到所求值．

解答 解：由双曲线C与双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1有共同的渐近线，可设双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=m（m≠0），
代入点A（3，-6$\sqrt{2}$），可得：
m=$\frac{9}{3}$-$\frac{72}{27}$=$\frac{1}{3}$，
即有双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
可得F₁（-$\sqrt{10}$，0），F₂（$\sqrt{10}$，0），
由∠F₁PF₂=90°，可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
则|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{P{F}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{P{F}_{2}}}^{2}+2\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{P{F}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{P{F}_{2}}}^{2}}$=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=2$\sqrt{10}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程的求法和运用，注意双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查向量垂直的条件和向量的模的求法，化简整理的运算能力，属于中档题．