Question

6．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积运算与夹角公式，计算即可；
（2）根据平面向量的模长公式，计算即可．

解答 解：（1）∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{2}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，
即|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{b}$|²=$\frac{1}{2}$．
∵|$\overrightarrow{a}$|=1，∴|$\overrightarrow{b}$|²=$\frac{1}{2}$，∴|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；…（4分）
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又θ∈[0，π]，∴θ=$\frac{π}{4}$；…（8分）
（2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²
=1+2×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{5}{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{\frac{5}{2}}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了平面向量的数量积运算与夹角、模长的计算问题，是基础题．