Question

已知f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的周期和单调减区间；
（2）若f（

A

2

+

π

8

）=

3 2

5

，且A∈（

π

2

，π），求cos2A和tan2A的值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,二倍角的正弦,二倍角的余弦,二倍角的正切

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），可得它的最小正周期，再根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调减区间．
（2）由条件求得 sinA=

3

5

，可得cosA=-

4

5

、tanA的值，进而利用二倍角公式求得cos2A和tan2A的值．

解答： 解：（1）由于f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
故它的周期为

2π

2

=π．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，可得函数的减区间为[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈z．
（2）∵f（

A

2

+

π

8

）=

2

sinA=

3 2

5

，且A∈（

π

2

，π），∴sinA=

3

5

，cosA=-

4

5

，tanA=

sinA

cosA

=-

3

4

，
∴cos2A=2cos²A-1=

7

25

 tan2A=

2tanA

1-tan2A

=-

24

7

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，二倍角公式的应用，正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，属于中档题．