题目内容
15．已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切．直线l2：x=a（a＞-1）交抛物线C于点B，交直线l1于点D．设设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S1．（1）求直线l1的方程；
（2）求S1的值．
分析 （1）先对函数y=2x2进行求导，得到直线l1的斜率，再由点斜式方程得到直线l1的方程．
（2）用积分表示面积，即可得出结论．
解答 解：（1）由y=2x2，得y'=4x．当x=-1时，y'=-4．
∴l1的方程为y-2=-4（x+1），即4x+y+2=0…..（5分）
（2）由题意，当a＞-1时，${S_2}=\int_{-1}^a{（2{x^2}+4x+2）dx=（\frac{2}{3}{x^3}+2{x^2}+2x）\left|{_{-1}^a}\right.}$=$\frac{2}{3}{a^3}+2{a^2}+2a+\frac{2}{3}-2+2=\frac{2}{3}{（a+1）^3}$…..（12分）
点评 本题主要考查导数的几何意义和直线与抛物线的综合题．考查基础知识的综合应用．
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