Question

19．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对一切x∈R恒成立，则
①f（$\frac{11π}{12}$）=0．
②f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
③|f（$\frac{7π}{10}$）|＜|f（$\frac{π}{5}$）|．
④存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．
⑤b＞0时，f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}$]（k∈Z）．
以上结论正确的是①②（写出正确结论的编号）．

Answer 1

分析 由辅助角公式化简得f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2x+θ），结合已知不等式得f（$\frac{π}{6}$）是函数的最大或最小值，由正弦函数的最大值、两角和的正弦公式化简，求出θ、a与b的关系式，根据条件的三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，对各选项逐个加以判断．

解答 解：由题意得，f（x）=asin2x+bcos2x=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2x+θ），
其中角θ满足cosθ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，sinθ=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
∵f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对一切x∈R恒成立，
∴f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$或-$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，此时2×$\frac{π}{6}$+θ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z），得θ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
则$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=|f（$\frac{π}{6}$）|=|$\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b$|，化简得a=$\sqrt{3}$b，
对于①，f（$\frac{11π}{12}$）=±$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2×$\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=sin2π=0，故①正确；
对于②，根据函数的表达式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故②正确；
对于③，|f（$\frac{7π}{10}$ ）|=|$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2×$\frac{7π}{10}$+$\frac{π}{6}$）|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$|sin$\frac{47π}{30}$|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin$\frac{17π}{30}$，
∵|f（$\frac{π}{5}$ ）|=|$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2×$\frac{π}{5}$+$\frac{π}{6}$）|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$|sin$\frac{17π}{30}$|，
∴|f（$\frac{11π}{12}$）|=|f（$\frac{π}{5}$）|，故③不正确；
对于④，∵a=$\sqrt{3}$b，∴f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2x+θ）=2|b|sin（2x+θ），
则f（x）的振幅为2|b|＞|b|，∴经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象必相交，
即直线必与函数f（x）的图象有交点，故④不正确；
对于⑤，∵a=$\sqrt{3}$b＞0，∴f（x）=2bsin（2x+$\frac{π}{6}$），
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递增区间是$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]（k∈Z）$，
则[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）不是增区间，故⑤不正确．
故答案为：①②．

点评 本题考查三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，辅助角公式、两角和的正弦公式，考查化简、变形能力．