题目内容
3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是等边三角形，则离心率为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D． | $\frac{3}{4}$ |
分析 △F1AB是等边三角形，由椭圆与等边三角形的对称性可得：AB⊥x轴．$\sqrt{3}$×$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，化简解出即可得出．
解答 解：∵△F1AB是等边三角形，由椭圆与等边三角形的对称性可得：AB⊥x轴．
∴$\sqrt{3}$×$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，可得$\sqrt{3}$（a2-c2）=2ac，化为$\sqrt{3}$e2+2e-$\sqrt{3}$=0，0＜e＜1．
解得e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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