题目内容
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为
，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 ．
| 3 |
考点：球内接多面体
专题：计算题,空间位置关系与距离
分析：球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上；另一类在不过顶点A的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果．
解答：
解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．
在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2，AA1=
，则∠A1AE=
．同理∠BAF=
，
所以∠EAF=
，故弧EF的长为2•
=
，这样的弧共有三条．
在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为
的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG=
，所以弧FG的长为
．这样的弧也有三条．
于是，所得的曲线长为
×3+
×3=
．
故答案为：
．
解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2，AA1=
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
所以∠EAF=
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
于是，所得的曲线长为
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 2 |
故答案为：
| 5π |
| 2 |
点评：本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，属基础题
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| A、{-1，3} | ||||
B、{-2-
| ||||
C、{-2+
| ||||
D、{-2-
|
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