Question

已知函数，其中为实数，常数.

(1) 若是函数的一个极值点，求的值；

(2) 当取正实数时，求函数的单调区间；

(3) 当时，直接写出函数的所有减区间.

 

Answer 1

（1）；（2）当时，的单调递增区间为，，

单调减区间为；当时， 的单调增区间是；（3）单调减区间是，，.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先对求导，由于是函数的一个极值点，所以，解出a的值，需验证，当时，是否有极值点；第二问，对求导，通过对判别式的讨论确定有几个根，再数形结合判断函数的单调区间；第三问，把代入，对求导，令，解不等式，解出减区间即可.

试题解析：(1)【解析】
（2分）

因为是函数的一个极值点，所以，

即.

而当时，，

可验证：是函数的一个极值点.因此. （4分）

(2) 当取正实数时，，

令得，

当时，解得.

所以当变化时，、的变化是

		极大值		极小值

 

所以的单调递增区间为，，

单调减区间为；

当时，恒成立，故的单调增区间是. （9分）

(3) 当时， 的单调减区间是，，.（12分）

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值.