题目内容
作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能 6：15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为
，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：
（1）设学校规定7：20后（含7：20）到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；
（2）设X表示该学生上学途中遇到的红灯数，求P（X≥2）的值；
（3）设Y表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量Y的分布列和数学期望．
| 1 |
| 3 |
| 红灯 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 等待时间（秒） | 60 | 60 | 90 | 30 | 90 |
（2）设X表示该学生上学途中遇到的红灯数，求P（X≥2）的值；
（3）设Y表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量Y的分布列和数学期望．
考点：二项分布与n次独立重复试验的模型,离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（1）由题意知，当1，2，3，5路口同时遇到红灯时，该同学会迟到，由此能求出这名学生迟到的概率．
（2）由题意知X～B（5，
），P（X≥2）=1-P（X=0）-P（X=1），由此能求出结果．
（3）由题意知Y=0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y的分布列和数学期望．
（2）由题意知X～B（5，
| 1 |
| 3 |
（3）由题意知Y=0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y的分布列和数学期望．
解答：
解：（1）由题意知，当1，2，3，5路口同时遇到红灯时，
该同学会迟到，
∴这名学生迟到的概率：p=(
)4•(
+
)=
．
（2）由题意知X～B（5，
），
∴P（X≥2）=1-P（X=0）-P（X=1）
=1-
(
)5-
(
)(
)4=
．
（3）由题意知Y=0，1，2，3，4，5，
P（Y=0）=
，P（Y=1）=
×
=
，
P（Y=2）=(
)2•
=
，P（Y=3）=（
）3•
=
，
P（Y=4）=(
)4•
=
，P（Y=5）=(
)5=
，
∴随机变量Y的分布列：
∴EY=1×
+2×
+3×
+4×
+5×
=
．
该同学会迟到，
∴这名学生迟到的概率：p=(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 81 |
（2）由题意知X～B（5，
| 1 |
| 3 |
∴P（X≥2）=1-P（X=0）-P（X=1）
=1-
| C | 0 5 |
| 2 |
| 3 |
| C | 1 5 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 131 |
| 243 |
（3）由题意知Y=0，1，2，3，4，5，
P（Y=0）=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
P（Y=2）=(
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 81 |
P（Y=4）=(
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 16 |
| 243 |
| 2 |
| 3 |
| 32 |
| 243 |
∴随机变量Y的分布列：
| Y | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
|
| 2 |
| 9 |
| 4 |
| 27 |
| 8 |
| 81 |
| 16 |
| 243 |
| 32 |
| 243 |
| 422 |
| 243 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
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