题目内容
已知x，y，z均为实数，
（1）x+y+z=1，求证：
+
+
≤3
；
（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值．
（1）x+y+z=1，求证：
| 3x+1 |
| 3y+2 |
| 3z+3 |
| 3 |
（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值．
考点：二维形式的柯西不等式
专题：综合题,不等式的解法及应用,推理和证明
分析：（1）由题意，根据柯西不等式有（
+
+
）2≤（12+12+12）[（
）2+（
）2+（
）2]=3[3（x+y+z）+6]=3×9=27，即可证明结论；
（2）由条件利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，求得x2+y2+z2的最小值．
| 3x+1 |
| 3y+2 |
| 3z+3 |
| 3x+1 |
| 3y+2 |
| 3z+3 |
（2）由条件利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，求得x2+y2+z2的最小值．
解答：
（1）证明：由题意，根据柯西不等式有（
+
+
）2≤（12+12+12）[（
）2+（
）2+（
）2]=3[3（x+y+z）+6]=3×9=27，
所以
+
+
≤3
；
（2）12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=36，
∴x2+y2+z2≥
，即x2+y2+z2的最小值是
．
| 3x+1 |
| 3y+2 |
| 3z+3 |
| 3x+1 |
| 3y+2 |
| 3z+3 |
所以
| 3x+1 |
| 3y+2 |
| 3z+3 |
| 3 |
（2）12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=36，
∴x2+y2+z2≥
| 18 |
| 7 |
| 18 |
| 7 |
点评：本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．
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