Question

1．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的公比为$\frac{1}{2}$，满足S₃=15，a₁+2b₁=3，a₁+4b₁=6．
（1）求数列{a_n}，{b_n}通项a_n，b_n；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差、等比数列的定义与通项公式，列出方程组求出首项与公差，即可写出通项公式；
（2）利用错位相减法求T_n即可．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，
所以：$\left\{\begin{array}{l}{{3a}_{1}+3d=15}\\{{a}_{1}+{2b}_{1}=3}\\{{a}_{1}+d+{2b}_{1}=6}\end{array}\right.$，
解得：a₁=2，d=3，b₁=$\frac{1}{2}$；
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1，
b_n=$\frac{1}{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$=${（\frac{1}{2}）}^{n}$；
（2）由（1）知，
T_n=2×$\frac{1}{2}$+5×${（\frac{1}{2}）}^{2}$+8×${（\frac{1}{2}）}^{3}$+…+（3n-4）×${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$+（3n-1）×${（\frac{1}{2}）}^{n}$，①
①×$\frac{1}{2}$得，
$\frac{1}{2}$T_n=2×${（\frac{1}{2}）}^{2}$+5×${（\frac{1}{2}）}^{3}$+…+（3n-4）×${（\frac{1}{2}）}^{n}$+（3n-1）×${（\frac{1}{2}）}^{n+1}$，②
①-②得，
$\frac{1}{2}$T_n=2×$\frac{1}{2}$+3×[${（\frac{1}{2}）}^{2}$+${（\frac{1}{2}）}^{3}$+…+${（\frac{1}{2}）}^{n}$]-（3n-1）×${（\frac{1}{2}）}^{n+1}$
=1+3×$\frac{\frac{1}{4}×[1{-（\frac{1}{2}）}^{n+1}]}{1-\frac{1}{2}}$-（3n-1）×${（\frac{1}{2}）}^{n+1}$，
∴T_n=-（3n+5）×${（\frac{1}{2}）}^{n}$+5．

点评 本题考查了等差、等比数列的定义与通项公式以及前n项和的应用问题，是综合性题目．