Question

15．已知函数$f（x）=2msinx-2{cos^2}x+\frac{m^2}{2}-4m+3$，且函数f（x）的最小值为-7，求实数m的值．

Answer 1

分析 把函数f（x）化成关于sinx的函数，利用换元法把问题转化为二次函数的问题，
讨论对称轴的位置，判断出函数的最小值表达式从而求得m的值．

解答 解：函数$f（x）=2msinx-2{cos^2}x+\frac{m^2}{2}-4m+3$
=2msinx-2（1-sin²x）+$\frac{{m}^{2}}{2}$-4m+3
=2sin²x+2msinx+$\frac{{m}^{2}}{2}$-4m+1
=2${（sinx+\frac{m}{2}）}^{2}$-4m+1，
令t=sinx，则-1≤t≤1，
则函数f（t）=2（t+$\frac{m}{2}$）²-4m+1，且对称轴为t=-$\frac{m}{2}$；
当-1≤-$\frac{m}{2}$≤1，即-2≤m≤2时，
f（t）_min=f（-$\frac{m}{2}$）=-4m+1=-7，解得m=2；
当-$\frac{m}{2}$＞1，即m＜-2时，
f（t）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$m²-2m+3=-7，解得m不存在；
当-$\frac{m}{2}$＜-1，即m＞2时，
f（t）_min=f（-1）=$\frac{1}{2}$m²-6m+3=-7，解得m=2（舍去）或m=10；
综上，实数m的值为10．

点评 本题主要考查了三角函数的最值问题，一般的方法是转化为二次函数的问题，利用二次函数的性质求得最值，是综合题．