题目内容
若函数f（x）=
在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
|
| A、a＞16 | B、a≥16 |
| C、a＜16 | D、a≤16 |
考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点
专题：计算题,导数的概念及应用
分析：根据函数的单调性画出函数的图象，及题意其定义域R上有且只有一个零点，即可求出a的取值范围．
解答：
解：①当x≤0时，f（x）=x+3x．
∵函数y=x与y=3x在x≤0时都单调递增，
∴函数f（x）=x+3x在区间（-∞，0]上也单调递增．
又f（-1）＜0，f（0）=1＞0，
∴函数f（x）在（-1，0）内有一个零点，如图所示．
②当x＞0时，f（x）=
x3-4x+
．
∴f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（0，2）上单调递减；在区间（2，+∞）上单调递增．
∴函数f（x）在x=2时求得极小值，也即在x＞0时的最小值．
∵函数f（x）在其定义域R上有且只有一个零点，且由（1）可知在区间（-1，0）内已经有一个零点了，所以在区间（0，+∞）上没有零点，
∴必须满足f（2）＞0，即
-8+
＞0，解得a＞16．
故选：A．
∵函数y=x与y=3x在x≤0时都单调递增，
∴函数f（x）=x+3x在区间（-∞，0]上也单调递增．
又f（-1）＜0，f（0）=1＞0，
∴函数f（x）在（-1，0）内有一个零点，如图所示．
②当x＞0时，f（x）=
| 1 |
| 3 |
| a |
| 3 |
∴f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（0，2）上单调递减；在区间（2，+∞）上单调递增．
∴函数f（x）在x=2时求得极小值，也即在x＞0时的最小值．
∵函数f（x）在其定义域R上有且只有一个零点，且由（1）可知在区间（-1，0）内已经有一个零点了，所以在区间（0，+∞）上没有零点，
∴必须满足f（2）＞0，即
| 23 |
| 3 |
| a |
| 3 |
故选：A．
点评：利用导数得出函数的单调性并画出图象是解题的关键．
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