Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-a}{x-1}$，函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线与直线y=-$\frac{1}{e}$x+e垂直，其中实数a是常数，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（e^x+1）≤t有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线与直线y=-$\frac{1}{e}$x+e垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）由于e^x+1＞1，关于x的不等式f（e^x+1）≤t有解，等价于?＞1，使得f（x）≤t，即$\frac{{e}^{x}-e}{x-1}$≤t，即e^x-tx+t-e≤0成立．分类讨论，利用导数确定函数的单调性，即可求实数t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-a}{x-1}$，
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）+a}{（x-1）^{2}}$，
∵函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线与直线y=-$\frac{1}{e}$x+e垂直，
∴f′（2）=e，
∵f′（2）=a，
∴a=e；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=$\frac{{e}^{x}-e}{x-1}$，
∵e^x+1＞1，
∴关于x的不等式f（e^x+1）≤t有解，等价于?＞1，使得f（x）≤t，即$\frac{{e}^{x}-e}{x-1}$≤t，
即e^x-tx+t-e≤0成立．
令g（x）=e^x-tx+t-e，则g′（x）=e^x-t．
①t≤e，则x＞1时，g′（x）=e^x-t≥e-t≥0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴x＞1时，g（x）＞g（1）=0，∴e^x-tx+t-e≤0不成立；
②t＞e，则由g′（x）=e^x-t=0得x=lnt＞1，
∵x∈（1，lnt）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[1，lnt）上是减函数，
∴x∈（1，lnt）时，g（x）＜g（1）=0，e^x-tx+t-e≤0成立．
综上所述，实数t的取值范围是（e，+∞）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查不等式有解问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．