Question

13．已知f（n）=1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+n•1（n∈N^*），那么f（n+1）-f（n）=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$．

Answer 1

分析 记这个数列为{a_n}，其通项公式a_k=k•[n-（k-1）]=kn-k²+k，从而f（n）=S_n=1•n+2（n-1）+…+n•1=（1•n-1²+1）+（2n-2²+2）+…+（n•n-n²+n），由此能求出f（n+1）-f（n）．

解答 解：f（n）=1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+n•1（n∈N^*），
记这个数列为{a_n}，其通项公式a_k=k•[n-（k-1）]=kn-k²+k
∴f（n）=S_n=1•n+2（n-1）+…+n•1
=（1•n-1²+1）+（2n-2²+2）+…+（n•n-n²+n）
=（1+2+3+…+n）•n-（1²+2²+…+n²）+（1+2+3+…+n）
=$\frac{n（n+1）}{2}$•n-$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$，
∴f（n+1）-f（n）=$\frac{（n+1）（n+2）（n+3）}{6}$-$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$．
故答案为：$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．