Question

命题p：函数y=log₂（x²-2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=

1

3x+1

的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（　　）

Answer 1

分析：求出函数y=log₂（x²-2x）的定义域，找出定义域内的内层函数t=x²-2x的增区间，结合外层函数y=log₂t的单调性求出函数y=log₂（x²-2x）的单调增区间，从而判断出命题p的真假，利用指数函数的值域求出函数y=

1

3x+1

的值域，判断出命题q的真假，最后结合复合命题的真假判断得到正确的结论．

解答：解：令t=x²-2x，则函数y=log₂（x²-2x）化为y=log₂t，
由x²-2x＞0，得：x＜0或x＞2，
所以，函数y=log₂（x²-2x）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）．
函数t=x²-2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=1，
所以，函数t=x²-2x在定义域内的增区间为（2，+∞）．
又因为函数为y=log₂t是增函数，所以，复合函数y=log₂（x²-2x）的单调增区间是（2，+∞）．
所以，命题p为假命题；
再由3^x＞0，得3^x+1＞1，
所以0＜

1

3x+1

＜1，
所以，函数y=

1

3x+1

的值域为（0，1），
故命题q为真命题．
所以p∧q为假命题，pVq为真命题，p∧（￢q）为假命题，￢q为假命题．
故选B．

点评：本题考查了复合命题真假的判断，考查了复合函数单调性的求解方法，复合函数的单调性满足“同增异减”，命题p中的函数是对数型的函数，求解时一定要注意定义域，这是该题易出错的地方，此题是中档题．