Question

设S_n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a_n}的前n项和，则下列命题错误的是（　　）

• A、若d＜0，则数列{S_n}有最大项
• B、若数列{S_n}有最大项，则d＜0
• C、若对任意n∈N^*，均有S_n＞0，则数列{S_n}是递增数列
• D、若数列{S_n}是递增数列，则对任意n∈N^*，均有S_n＞0

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由等差数列的求和公式可得S_n=na₁+

n(n+1)

2

d=

d

2

n²+（a₁+

d

2

）n，可看作关于n的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得．

解答：解：由等差数列的求和公式可得S_n=na₁+

n(n+1)

2

d=

d

2

n²+（a₁+

d

2

）n，
选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{S_n}有最大项，故正确；
选项B，若数列{S_n}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；
选项C，若对任意n∈N^*，均有S_n＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，
可得数列{S_n}是递增数列，故正确；
选项D，若数列{S_n}是递增数列，则对应抛物线开口向上，
但不一定有任意n∈N^*，均有S_n＞0，故错误．
故选D

点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．