Question

7．两圆内切于T，CD是大圆的弦，且CD切小圆于E点，连接TC，TD交小圆于A，B两点，TE的延长线交大圆于F，连接AB．
（1）求证：AB∥CD
（2）∠CTF=∠DTF
（3）DF²-EF²=CE•DE．

Answer 1

分析 （1）过T作出两圆的公切线TM，利用弦切角定理，可得结论；
（2）TM是两圆的公切线，CD切小圆于E点，∠MTE=∠DET，结合（1）的结论，即可证明；
（3）利用三角形相似，结合相交弦定理进行证明．

解答 证明：（1）过T作出两圆的公切线TM，则
∠BTM=∠TAB，∠BTN=∠TCD，
∴∠TAB=∠TCD，
∴AB∥CD；
（2）∵TM是两圆的公切线，CD切小圆于E点，
∴∠MTE=∠DET，
∵∠MTE=∠BTM+∠DTF
∠DET=∠TCD+∠CTF，∠BTM=∠TCD，
∴∠CTF=∠DTF
（3）由（2）可得∠DTF=∠EDF，
∴∠DFT=∠EFD，
∴△DTF∽△EDF，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{TF}{DF}$，
∴DF²=EF•TF=EF•（EF+TE）=EF²+EF•TE，
∴DF²-EF²=EF•TE．
∵EF•TE=CE•DE，
∴DF²-EF²=CE•DE．

点评 本题考查弦切角定理、相交弦定理，考查三角形相似的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．