Question

7．如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形…，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则最小正方形的边长为（　　）

• A． $\frac{1}{64}$
• B． $\frac{1}{16}$
• C． $\frac{1}{32}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 正方形的边长构成以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$为首项，以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$为公比的等比数列，利用共得到1023个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长．

解答 解：由题意，正方形的边长构成以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$为首项，
以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有
1+2+…+2^n-1=1023，∴n=10
∴最小正方形的边长为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$×（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）⁹=$\frac{1}{32}$．
故选C．

点评 本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式．