Question

4．已知f（x）=|x-3|-|x-a|
（1）如果f（x）＞-4的解集是R，求实数a的取值范围；
（2）如果对任意的t∈（0，1），f（x）≤$\frac{1}{t}+\frac{9}{1-t}$对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）易知f（x）的最大值=|a-3|，最小值=-|a-3|，故-|a-3|＞-4，即可求实数a的取值范围；
（2）求出$\frac{1}{t}+\frac{9}{1-t}$的最小值=16，所以|a-3|≤16，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）易知f（x）的最大值=|a-3|，最小值=-|a-3|，故-|a-3|＞-4，
所以a∈（-1，7）
（2）$\frac{1}{t}+\frac{9}{1-t}$=（t+1-t）（$\frac{1}{t}+\frac{9}{1-t}$）=10+$\frac{9t}{1-t}$+$\frac{1-t}{t}$≥10+6=16，即$\frac{1}{t}+\frac{9}{1-t}$的最小值=16，
所以|a-3|≤16，故a∈[-13，19]．

点评 本题考查绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．