Question

7．给出下列叙述：
①若过点A（m-1，2）和点B（1，2m+1）的直线的倾斜角为$\frac{3π}{4}$，则m=-1；
②在△ABC中，若cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$，则△ABC的面积为4；
③若数列{a_n}是等比数列，前n项和为S_n，则S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈也成等比数列；
④若函数f（x）=cosx+$\frac{1}{cosx+2}$（x∈R），则f（x）的最小值为0．
其中所有正确叙述的序号是①③④．

Answer 1

分析 由两点求斜率结合直线的倾斜角求得m值判断①；由已知结合倍角公式求得cosA，再由数量积运算求得$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=5$，代入三角形面积求得面积判断②；由等比数列的第一个n项和、第二个n项和、…、第n个n项和仍然成等比数列判断 ③；配方法利用函数单调性求得最值判断④．

解答 解：对于①，过点A（m-1，2）和点B（1，2m+1）的直线的倾斜角为$\frac{3π}{4}$，则$\frac{2m+1-2}{1-m+1}=tan\frac{3π}{4}=-1$，解得m=-1，故①正确；
对于②，在△ABC中，若cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则cosA=$2co{s}^{2}\frac{A}{2}-1=2×（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}-1=\frac{3}{5}$，∴sinA=$\frac{4}{5}$，
由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$，得$|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|cosA=|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|•\frac{3}{5}=3$，∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=5$，则△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|•sinA=\frac{1}{2}×5×\frac{4}{5}=2$，故②错误；
③若数列{a_n}是等比数列，前n项和为S_n，则S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈也成等比数列，正确．
事实上，公比为1时，S₄=4a₁，S₈-S₄=4a₁，S₁₂-S₈=4a₁，成等比数列，公比q≠1时，${S}_{4}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$，${S}_{8}-{S}_{4}=\frac{{a}_{1}{q}^{4}（1-{q}^{4}）}{1-q}$，S₁₂-S₈=$\frac{{a}_{1}{q}^{8}（1-{q}^{4}）}{1-q}$，
满足$\frac{{S}_{8}-{S}_{4}}{{S}_{4}}=\frac{{S}_{12}-{S}_{8}}{{S}_{8}-{S}_{4}}={q}^{4}$；
对于④，函数f（x）=cosx+$\frac{1}{cosx+2}$=cosx+2+$\frac{1}{cosx+2}$-2（x∈R），当cosx=-1时，f（x）的最小值为0，故④正确．
∴正确命题的序号为①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了直线的斜率和倾斜角的关系，考查平面向量的数量积运算，训练了数列等比关系的确定，考查三角函数最值的求法，属中档题．