Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n+3}是等比数列，求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{n}{3}$a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式可得数列{a_n+3}是等比数列，结合等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{n}{3}$a_n，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设存在s、p、r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s、a_p、a_r成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，得2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3，结合2^p-s+1为偶数，1+2^r-s为奇数，可知2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在满足条件的三项．

解答 （1）证明：∵S_n=2a_n-3n，∴S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
则a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，∴a_n+1=2a_n+3，
即$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}=2$，
∴数列{a_n+3}是等比数列，
a₁=S₁=3，a₁+3=6，则${a}_{n}+3=6•{2}^{n-1}=3•{2}^{n}$，
∴${a}_{n}=3•{2}^{n}-3$；
（2）解：${b}_{n}=\frac{n}{3}{a}_{n}=n•{2}^{n}-n$，
${T}_{n}=2+2•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+n•{2}^{n}-（1+2+…+n）$，
令${R}_{n}=2+2•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+n•{2}^{n}$，①
$2{R}_{n}={2}^{2}+2•{2}^{3}+3•{2}^{4}+…+（n-1）•{2}^{n}+n•{2}^{n+1}$，②
①-②得，$-{R}_{n}=2+{2}^{2}+…+{2}^{n}-n•{2}^{n+1}=-（1-{2}^{n}）-n•{2}^{n+1}$，
${R}_{n}=2+（n-1）•{2}^{n+1}$，
∴${T}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2-\frac{1}{2}n（n+1）$；
（3）解：设存在s、p、r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s、a_p、a_r成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，
即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3，
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，
∵2^p-s+1为偶数，1+2^r-s为奇数，
∴2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在满足条件的三项．

点评 本题考查数列递推式，训练了错位相减法求数列的和，考查数列的函数特性，训练了学生的逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．