题目内容
4．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，AB的中点．（1）求证：DF⊥PB；
（2）求三棱锥P-BDE的体积．
分析 （1）由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥DF．再由底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，可得△ABD是正三角形．进一步得到DF⊥AB．由线面垂直的判定可得DF⊥平面PAB．则DF⊥PB；
（2）由E是PC的中点，知点P到平面BDE的距离与点C到平面BDE的距离相等，然后利用等积法求得三棱锥P-BDE的体积．
解答 （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，DF?平面ABCD，∴PA⊥DF．
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是正三角形．
又∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．
又∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵PB?平面PAB，∴DF⊥PB；
（2）解：∵E是PC的中点，∴点P到平面BDE的距离与点C到平面BDE的距离相等，
故VP-BDE=VC-BDE=VE-BCD，又${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
E到平面BCD的距离h=$\frac{1}{2}PA=\frac{3}{2}$，
∴${V}_{P-BDE}={V}_{E-BCD}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
点评 本题考查直线与平面垂直的判定与性质，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，AA1=$\sqrt{2}$，且D为BC中点．
12．若tanθ=2，则$\frac{2sinθ-cosθ}{sinθ+2cosθ}$的值为（ ）
| A． | 0 | B． | 1 | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | $\frac{5}{4}$ |
如图，用长为12m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架窗户，若半圆半径
16．
（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性．
（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．参考公式：
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$
（3）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
| 商品名称 | A | B | C | D | E |
| 销售额x（千万元） | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
| 利润额y（百万元） | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．参考公式：
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$
（3）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．