Question

已知f（x）=，（a＞0且a≠1）

（1）判断f（x）的奇偶性．

（2）讨论f（x）的单调性．

（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：

指数函数综合题；函数奇偶性的判断．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

（1）由函数的解析式可求函数的定义域，先证奇偶性：代入可得f（﹣x）=﹣f（x），从而可得函数为奇函数；

（2）再证单调性：利用定义任取x₁＜x₂，利用作差比较f（x₁）﹣f（x₂）的正负，从而确当f（x₁）与f（x₂）的大小，进而判断函数的单调性；

（3）对一切x∈[﹣1，1]恒成立，转化为b小于等于f（x）的最小值，利用（2）的结论求其最小值，从而建立不等关系解之即可．

解答：

解：（1）∵f（x）=，

所以f（x）定义域为R，

又f（﹣x）=（a^﹣x﹣a^x）=﹣（a^x﹣a^﹣x）=﹣f（x），

所以函数f（x）为奇函数，

（2）任取x₁＜x₂

则f（x₂）﹣f（x₁）=（a^x2﹣a^x1）（1+a^{﹣（x1+x2）}）

∵x₁＜x₂，且a＞0且a≠1，1+a^{﹣（x1+x2）}＞0

①当a＞1时，a²﹣1＞0，a^x2﹣a^x1＞0，则有f（x₂）﹣f（x₁）＞0，

②当0＜a＜1时，a²﹣1＜0．，a^x2﹣a^x1＜0，则有f（x₂）﹣f（x₁）＞0，

所以f（x）为增函数；

（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，

即b小于等于f（x）的最小值，

由（2）知当x=﹣1时，f（x）取得最小值，最小值为（）=﹣，

∴b≤﹣．

求b的取值范围（﹣∞，﹣]．

点评：

本题考查了函数的奇偶性的判断，函数单调性的证明，抽象函数性质应用，关键是正确应用函数的基本性质解题．