Question

如图，点P（4，4）是曲线y=2

x

上的一点．过线段OP的中点M₁作x轴的垂线交曲线于点P₁，再过线段P₁P的中点M₂作x轴的垂线交曲线于点P₂，…，以此类推，过线段P_n-1P的中点M_n作x轴的垂线交曲线于点P_n（P₀为原点O，n=1，2，3，…）．设点F（1，0），直线FM_n关于直线P_n-1P的对称直线为l_n（n=1，2，3，…），记直线P_n-1P、l_n的斜率分别为k pn-1p、k ln．若λ≤k pn-1p+k ln对任意n∈N^*恒成立，则实数λ取值范围是（　　）

• A、（-∞，

  3

  2

  ]
• B、（-∞，1]
• C、（-∞，

  1

  2

  ]
• D、（-∞，0]

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：求出曲线y=2

x

在P点的切线的斜率，由题意可知k pn-1p大于

1

2

且无限接近于

1

2

，kln大于0且无限趋近于0，则k pn-1p+k ln无限趋近于

1

2

，又λ≤k pn-1p+k ln对任意n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围可求．

解答：解：由y=2

x

，得y′=x-

1

2

，
∴y′|x=4=

1

2

．
随着n的增大，kPn-1P、kln均递减，且当点P_n无限趋近于点P时，
kPn-1P无限趋近于点P处的切线l的斜率

1

2

，
又直线FP的方程为

y-0

4-0

=

x-1

4-1

，即4x-3y-4=0．
切线l的方程为y-4=

1

2

（x-4），即x-2y+4=0．
则直线FP关于切线l的对称直线为y=4，
即kln无限趋近于0，
∴k pn-1p+k ln无限趋近于

1

2

．
∵λ≤k pn-1p+k ln对任意n∈N^*恒成立，
∴实数λ取值范围是（-∞，

1

2

]．
故选：C．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，体现了极限思想方法在解题中的运用，是中档题．