Question

7．若实数x，y满足x²-4xy+4y²+4x²y²=4，则当x+2y取得最大值时，$\frac{x}{y}$的值为2．

Answer 1

分析 实数x，y满足x²-4xy+4y²+4x²y²=4，变形为：（x+2y）²+（2xy-2）²=8，令x+2y=$2\sqrt{2}$sinθ，2xy-2=2$\sqrt{2}$cosθ，θ∈[0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=$\frac{π}{2}$，即可得出．

解答 解：∵实数x，y满足x²-4xy+4y²+4x²y²=4，
变形为：（x+2y）²+（2xy-2）²=8，
令x+2y=$2\sqrt{2}$sinθ，2xy-2=2$\sqrt{2}$cosθ，θ∈[0，2π）．
则当x+2y取得最大值时，θ=$\frac{π}{2}$，
则x+2y=2$\sqrt{2}$，2xy-2=0，
解得x=$\sqrt{2}$，y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
$\frac{x}{y}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了实数的性质、三角函数代换方法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．