Question

3．设向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（m，4），且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的射影为2．

Answer 1

分析 由向量垂直的条件：数量积为0，运用向量的数量积的坐标表示和向量的平方即为模的平方，解方程求得m，再由$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的射影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，计算即可得到所求值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（m，4），且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
可得$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即有2×5-（2m+4）=0，
解得m=3．
则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的射影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2×3+1×4}{\sqrt{9+16}}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查向量的投影的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示和性质：向量的平方即为模的平方，考查方程思想和运算能力，属于基础题．