Question

11．已知m、n∈R⁺，f（x）=|x+m|+|2x-n|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值为2，证明：4（m²+$\frac{{n}^{2}}{4}$）的最小值为8．

Answer 1

分析 （1）对x与-m，$\frac{n}{2}$的大小关系分类讨论，利用一次函数的单调性即可得出．
（2）利用不等式的基本性质即可得出．

解答 （1）解：m、n∈R⁺，
当x≥$\frac{n}{2}$时，f（x）=x+m+2x-n=3x+m-n，当x=$\frac{n}{2}$时，取得最小值m+$\frac{n}{2}$；
当-m≤x≤$\frac{n}{2}$时，f（x）=x+m+n-2x=-x+m+n，当x=$\frac{n}{2}$时，取得最小值m+$\frac{n}{2}$；
当x≤-m时，f（x）=-（x+m）-（2x-n）=-3x-m+n，当x=-m时，取得最小值2m+n．
∵2m+n-$（m+\frac{n}{2}）$=m+$\frac{n}{2}$＞0．
∴x=$\frac{n}{2}$时，f（x）的最小值为m+$\frac{n}{2}$．
（2）证明：由（1）可知：m+$\frac{n}{2}$=2，m、n∈R⁺，
∴4（m²+$\frac{{n}^{2}}{4}$）≥2$（m+\frac{n}{2}）^{2}$=8，当且仅当m=$\frac{n}{2}$=1时取等号．

点评 本题考查了一次函数的单调性、绝对值函数、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．