Question

已知F(

1

2

，0)为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，点N（x₀，y₀）（y₀＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且|NF|=

5

2

，kNA•kNB=-2．
（I）求抛物线方程和N点坐标；
（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l'，若存在，求出直线l'的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题意

p

2

=

1

2

，
∴p=1，
所以抛物线方程为y²=2x．
|NF|=x0+

p

2

=

5

2

，
x₀=2，y₀²=4，
∵y₀＞0，
∴y₀=2，
∴N（2，2）．（4分）
（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，
设直线l的方程为x=ty+b（t∈R）
联立方程

y2=2x x=ty+b

得y²-2ty-2b=0，
设两个交点A(

y 21

2

y1，)，B(

y 22

2

，y2)（y₁≠±2，y₂≠±2）
∴

△=4t2 +8b＞0 y1+y2=2t y1y2=-2b

，…（6分）
kPA•kPB=

y1-2

y 21 2 -2

-

y2-2

y 22 2 -2

=

4

(y1+2)(y2+2)

=-2，
整理得b=2t+3…（8分）
此时△=4（t²+4t+6）＞0恒成立，
由此直线l的方程可化为x-3=t（y+2），
从而直线l过定点E（3，-2）…（9分）
因为M（2，-2），
所以M、E所在直线平行x轴
三角形MAB面积S=

1

2

|ME||y1-y2|=

t2+4t+6

=

(t+2 )2+2

，…（11分）
所以当t=-2时S有最小值为

2

，
此时直线l'的方程为x+2y+1=0…（12分）