Question

1．三个正数a，b，c满足a≤b+c≤2a，b≤a+c≤2b，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$]
• B． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． [2，3]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 将不等式进行转化，利用不等式的性质建立关于$\frac{b}{a}$的不等式关系，即可得出结论．

解答 解：∵三个正数a，b，c，满足a≤b+c≤2a，b≤a+c≤2b，
∴1≤$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$≤2①，$\frac{b}{a}$≤1+$\frac{c}{a}$≤$\frac{2b}{a}$②，
由②得-$\frac{2b}{a}$≤-1-$\frac{c}{a}$≤-$\frac{b}{a}$③，
①+③得1-$\frac{2b}{a}$≤$\frac{b}{a}$-1≤2-$\frac{b}{a}$④，
④等价于$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{2b}{a}≤\frac{b}{a}-1}\\{\frac{b}{a}-1≤2-\frac{b}{a}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}≥\frac{2}{3}}\\{\frac{b}{a}≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{2}{3}$≤$\frac{b}{a}$≤$\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了不等式的解法与应用问题，利用不等式的性质将不等式进行转化是解题的关键．