Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=（-1）ⁿ×2a_n+2^n-1，a₁=0．
（Ⅰ）求a₄的值，并证明数列{a_2n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=（-1）ⁿ×2a_n+2^n-1，a₁=0．分别取n=1，2，3可得a₂，a₃，a₄．由a_2n+1=2a2n+22n-1，可得a2n+2=-2a2n+1+22n=-4a_2n．即可证明．
（Ⅱ）当n为偶数时，a_n=-2an-1+2n-2，an-1=-

1

2

an+2n-3，可得S_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n），利用等比数列的前n项和公式即可得出；当n为奇数时，S_n=S_n+1-a_n+1，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+1=（-1）ⁿ×2a_n+2^n-1，a₁=0．可得a₂=1，a₃=4，a₄=-4．
a_2n+1=2a2n+22n-1，
∴a2n+2=-2a2n+1+22n=-2(2a2n+22n-1)+22n=-4a_2n．
∴数列{a_2n}是等比数列，公比为-4，首项为1；

（Ⅱ）当n为偶数时，
an=(-1)n-1×2an-1+2n-2=-2an-1+2n-2，
∴an-2n-2=-2an-1，
an-1=-

1

2

an+2n-3，
∴S_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）
=[(-

1

2

a2+2-1)+(-

1

2

a4+2)+…+(-

1

2

an+2n-3)]+（a₂+a₄+…+a_n）
=

1

2

(a2+a4+…+an)+2^-1+2+…+2^n-3=

1

2

×

1×[1-(-4) n 2 ]

1-(-4)

+

1 2 (1-4 n 2 )

1-4

=-

1

10

(-4)

n

2

+

1

6

×2n-

1

15

．
当n为奇数时，S_n=S_n+1-a_n+1=-

1

10

×(-4)

n+1

2

+

1

3

×2n-

1

15

-a_n+1．
由（Ⅰ）可得a2n=(-4)n-1．
∴a_n+1=(-4)

n-1

2

．
∴当n为奇数时，S_n=-

1

10

×(-4)

n+1

2

+

1

3

×2n-

1

15

-(-4)

n-1

2

=

3

20

×(-4)

n+1

2

+

1

3

×2n-

1

15

．
综上可得：当n为奇数时，S_n=

3

20

×(-4)

n+1

2

+

1

3

×2n-

1

15

；
当n为偶数时，S_n=-

1

10

×(-4)

n

2

+

1

6

×2n-

1

15

．

点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式与前n项和公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．