Question

在长、株、潭三市获国务院批准的“两型城市后”后，省政府决定关闭一批高能耗、高污染的中小型企业，并制定对企业的转岗员工的经济补助方案如下：第一年到政府社保部门领取关闭前工资的100%，从二年起，以后每年在社保部门按上一年补助金的

2

3

发放经济补助金．同时政府负责对企业进行调整改造，转型为转岗人员再就业的经济实体，经济实体第一年为投资阶段没有利润，第二年每人可获得利润分红收入b元，根据市场预测，从第三年起利润分红收入可以在上一年的基础上增加50%．如果某员工转岗前的工资收入为a元，转岗后第n年的收入为a_n元．
（1）试用转岗后的年数n表示该员工的经济总收入a_n；
（2）若b=

8

27

a该员工哪年的总经济收入最少？并求最少收入；
（3）若b≥

3

8

a，问是否一定可以保证该员工转岗一年后的总收入永远超过转岗前的收入？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题中已知条件，结合等比数列的性质便可写出试用转岗后的年数n表示该员工的经济总收入a_n的表达式；
（2）将）b=

8

27

a代入数列a_n的表达式中，根据不等式的性质便可求得当n=3时，该员工的收入最少；
（3）根据题意先写出an的表达式，然后将b≥

3

8

a代入a_n的表达式，然后讨论数列a_n的最小值，即可说明b≥

3

8

时，该员工转岗一年后的收入永远超过转岗前的收入．

解答：解（1）依题设，当n=1时，a₁=a，
当n≥2时，an=a(

2

3

)n-1+b(1+

1

2

)n-2，
故有an=

a(当n=1时) a( 2 3 )n-1+b( 3 2 )n-2(当n≥2时)

（2）由已知b=

8

27

a，
当n≥2时，a_n=a（

2

3

）^n-1+

8

27

a(

3

2

)n-2≥2

a( 2 3 )n-1• 8 27 a( 3 2 )n-2

=

8

9

a
当且仅当a（

2

3

）^n-1=

8

27

a，即n=3时，不等式成立
，因此，该员工第三年的收入最少，最少收入为

8

9

a元．

（3）当n≥2时，a_n=a（

2

3

）^n-1+b（

3

2

）^n-2≥a(

2

3

)n-1+

3

8

a(

3

2

)n-2≥2

a( 2 3 )n-1• 3 8 a( 3 2 )n-2

，
当且仅当

b= 3 8 a ( 2 3 )n-1= 3 8 ( 3 2 )n-2

，即

b= 3 8 a a=1+log( 2 3 )( 1 2 )

时，等号才能同时成立；
而1+log_

2

3

1

2

＞1+log_

2

3

2

3

=2，且（1+log_

2

3

1

2

）∈N*，故等号不能同时成立，
但当n=2时，a₂=

2

3

a+

3

8

a=

25

24

a＞a；
综合上所述，当b≥

3

8

时，一定可以保证该员工转岗一年后的收入永远超过转岗前的收入．

点评：本题主要考查了等差数列的等比数列的基本性质以及数列的实际应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．