Question

已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)．

(1)求实数m的值，并写出区间D；(2)若底数，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；

(3)当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值．

Answer 1

解  (1)  ∵是奇函数，∴对任意，有，即．　化简此式，得．又此方程有无穷多解(D是区间)，必有，解得．       ∴．             

 (2)  当时，函数上是单调减函数．理由：令．

易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小，6分

       故在上是随增大而减小．       于是，当时，函数上是单调减函数．      

 (3) ∵，  ∴．    ∴依据(2)的道理，当时，函数上是增函数，         12分

即，解得．           若，则在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)

∴必有．         因此，所求实数的值是．