Question

8．（1）已知f（x）=$\frac{2}{3x-1}$+m是奇函数，求常数m的值；
（2）画出函数y=|3^x-1|的图象，利用图象研究方程|3^x-1|=k解得情况．

Answer 1

分析 （1）利用f（-x）=-f（x），建立方程求常数m的值；
（2）作出直线y=k与函数y=|3^x-1|的图象，利用图象，分类讨论研究方程|3^x-1|=k解得情况．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{2}{3x-1}$+m是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{2}{3-x-1}$+m=-$\frac{2}{3x-1}$-m．
∴$\frac{2•3x}{1-3x}$+m=$\frac{2}{1-3x}$-m，
∴$\frac{2?3x-1?}{1-3x}$+2m=0．
∴-2+2m=0，∴m=1．（4分）
（2）作出直线y=k与函数y=|3^x-1|的图象，如图．                                     （8分）
①当k＜0时，直线y=k与函数y=|3^x-1|的图象无交点，即方程无解；
②当k=0或k≥1时，直线y=k与函数y=|3^x-1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
③当0＜k＜1时，直线y=k与函数y=|3^x-1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．   （12分）

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数的图象，考查分类讨论的数学思想，正确运用函数的图象是关键．