Question

3．直角坐标系中曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）经过点M（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点（A在B上方），且满足BM=2AM，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1，可得曲线C的直角坐标方程．
（2）设直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（α为参数）代入曲线C的方程有：（7sin²α+9）t²+32tsinα-128=0，利用t₂=-2t₁，及其根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）由曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），
可得：曲线C的直角坐标方程为：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$．
（2）设直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（α为参数）
代入曲线C的方程有：（7sin²α+9）t²+32tsinα-128=0，
设点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，
则t₂=-2t₁，则t₁+t₂=-$\frac{32sinα}{9+7si{n}^{2}α}$=-t₁，t₁t₂=$\frac{-128}{9+7si{n}^{2}α}$=-2${t}_{1}^{2}$，
∴sin²α=1，
∴直线l的方程为：x=0．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．